- Giả thuyết 1: nếu iđêan sinh bởi các đơn thức không chứa bình phương thì hàm độ sâu hình thức phải tăng. Công trình chứng minh được hàm tăng trong các khoảng nhất định và có phản ví dụ hàm giảm ngoài các khoảng này.

- Giả thuyết 2: nếu iđêan sinh bởi các đơn thức thì hàm độ sâu hình thức sẽ là hàm hằng với số mũ đủ lớn. Công trình chứng minh được giả thuyết đúng với nhiều lớp iđêan như iđêan sinh bởi các đơn thức không chứa bình phương và đưa ra phản ví dụ có hàm độ sâu là hàm tuần hoàn.

- Giả thuyết 3: mọi hàm nguyên dương tuần hoàn đều là hàm độ sâu hình thức. Công trình đã chứng minh được giả thuyết đúng mặc dù ban đầu mọi người không tin có thể giải quyết được với các kỹ thuật hiện hành.  

Để đạt được các kết quả trên, công trình “Depth functions of symbolic powers of homogeneous ideals” đã đưa ra nhiều ý tưởng và phương pháp nghiên cứu mới sử dụng công cụ từ các chuyên ngành khác nhau như Hình học đại số, Tô pô đại số, Quy hoạch nguyên. Các kết quả đạt được của công trình đã đặt ra nhiều vấn đề nghiên cứu mới mà việc giải quyết chúng sẽ giúp hiểu rõ hơn khái niệm số mũ hình thức.

Bài báo này là công trình chung của GS.TSKH Ngô Việt Trung và TS Nguyễn Đăng Hợp. Theo quy chế của Bộ KHCN, giải thưởng Tạ Quang Bửu chỉ được trao cho một cá nhân. Vì vậy, Viện Toán học đề cử GS.TSKH Ngô Việt Trung, tác giả liên hệ của công trình trên, cho giải thưởng Tạ Quang Bửu năm 2022. Theo GS Trung, những đóng góp của TS Hợp rất quan trọng, đặc biệt trong việc giải quyết giả thuyết 3. Đây có lẽ là kết quả đã góp phần để bài báo được chấp nhận đăng trong tạp chí Inventones Mathematicae.

GS. TSKH Ngô Việt Trung - Viện Toán học (Viện Hàn lâm KH&CN Việt Nam) phát biểu trong một cuộc hội thảo.

Bài báo được đề cử giải thưởng còn có xuất xứ từ những công trình chung của GS Ngô Việt Trung với cộng sự về hàm độ sâu của luỹ thừa iđêan thuần nhất trong những năm gần đây:

1) Ha Huy Tai, Ngo Viet Trung, Tran Nam Trung (2016), “Depth and regularity of powers of sums of ideals”, Math. Z., 282(3-4), 819-838.

2) Ha Huy Tai; Nguyen Dang Hop, Ngo Viet Trung, Tran Nam Trung (2020), “Symbolic powers of sums of ideals”, Math. Z., 294(3-4), 1499-1520.

3) Ha Huy Tai, Nguyen Dang Hop, Ngo Viet Trung, Tran Nam Trung (2021), “Depth functions of powers of homogeneous ideals”, Proc. Am. Math. Soc., 149(5), 1837-1844.

Đặc biệt, công trình cuối cùng giải quyết được một giả thuyết là khuôn mẫu cho lời giải giả thuyết thứ ba trong bài báo được đề cử Giải thưởng.

Xuân Diện